ΟΤΑΝ ΟΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΜΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΣΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Σε συγκεκριμένη εκτέλεση ενος πειράματος τύχης, το αποτέλεσμα δεν μπορούμε να το προβλέψουμε. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενος ζαρίου τα πιθανά αποτελέσματα ειναι: Ω = {1,2,3,4,5,6}, κάθε αποτέλεσμα ας υποθέσουμε οτι αποτελεί και ενα ενδεχόμενο ξεχωριστά, δηλαδή : Α={1} , Β={2} , Γ={3} , Δ={4} , Ε={5} , Ζ={6}. Οπότε δεν ξέρουμε σε μια ρίψη αν πραγματοποιήθει το Α,Β,...,Ζ ενδεχόμενο. Γι’αυτό το λόγω, δημιουργήθηκε η ανάγκη να αντιστοιχίσουμε σε κάθε ενδεχόμενο ενα αριθμό, ο οποίος θα είναι ενα μέτρο της “προσδοκίας” με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίηση του. Τον αριθμό αυτό τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου. Επομένως για το παράδειγμα μας, έχουμε αντίστοιχα : P(A) , P(B) , P(Γ) , P(Δ) , P(Ε) , P(Ζ).
Στο παράδειγμα με τις ρίψεις ενός ζαρίου, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α, δηλαδή να φέρουμε (1) ειναι P(A)=1/6, αντίστοιχα και οι πιθανότητες και για την πραγματοποίηση των Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ενδεχομένων ειναι 1/6. Τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ονομάζονται ισοπίθανα καθώς, με ένα αμερόληπτο ζάρι, πραγματοποιούνται με τις ίδιες πιθανότητες.
Στο ίδιο πείραμα τύχης μπορούμε να ορίσουμε και άλλα ενδεχόμενα όπως : Κ={να φέρουμε ζυγό αριθμό (2,4,6)} και Π={να έρθει περιττός αριθμός (1,3,5)}, παρατηρούμε οτι και πάλι τα ενδεχόμενα ειναι ισοπίθανα, έστι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι 1/2 , αντίστοιχα και για το ενδεχόμενο Β, η πιθανότητα ειναι 1/2 . Οι πιθανότητες αυτές μπορούν να εξαχθούν χωρίς να ορίσουμε τα ενδεχόμενα Κ και Π, αλλά χρησιμοποιώντας τα παραπάνω ενδεχόμενα, δηλαδή : P(ζυγός) = P(Β) + P(Δ) + P(Ζ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 , αντίστοιχα P(περιττός) = P(Α) + P(Γ) + P(Ε) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Ν(Κ) ονομάζουμε το πλήθος των στοιχείων που περιλαμβάνει το ενδεχόμενο Κ , στο παράδειγμα μα το ζάρι το ενδεχόμενο Κ περιέχει 3 στοιχεία , τα (2,4,6) , άρα Ν(Κ) = 3 , αντίστοιχα Ν(Π) = 3 και Ν(Ω) = 6. Επομένως , η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Κ είναι Ν(Κ)/Ν(Ω) = 3/6 = 1/2 .
‘Ετσι έχουμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας , ο οποίος διατυπώθηκε από τον Laplace το 1812 : P(A) = N(A)/ N(Ω) . Από τον οποίο προκύπτουν βασικές ιδιότητες :

• P(Ω) = Ν(Ω)/Ν(Ω) = 1
• P(0) = Ν(0)/Ν(Ω) = 0

• Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει : 0 ≤ P(A) ≤ 1 , καθώς το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου ειναι ίσο ή μικρότερο απο το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου (Ω).
Οι πιθανότητες ειναι πόλυ χρήσιμες, τις συναντάμαι και τις επικαλούμαστε καθημερινά :

• Τι πιθανότητες έχω να προλάβω το λεωφορείο το πρώι;
• Τι πιθανότητες έχω να με εξετάση στο μάθημα ο καθηγητής;
• Τι πιθανότητες έχει να βρέχει το Σάββατο;
  
• Τι πιθανότητες έχει να πάρει πρωτάθλημα ο Παναθηναικός; Και πολλές άλλες καθημερινές χρήσεις των πιθανοτήτων , παρ' όλα αυτά, αν οι πιθανότητες δεν ειναι με το μέρος σας , μην το βάζετε κάτω η τύχη μπορεί να μένει δίπλα σας...:)
  

http://www.in.gr/news/article.asp?lngEntityID=1096490&lngDtrID=252

Ενδεχόμενα (events)

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται ενδεχόμενο. Για παράδειγμα, στο πείραμα με τις ρίψεις ενός ζαρίου τα σύνολα
Α = {2,4,6} , Β = {1,3,5} , Γ = {6} και Δ = {1} ειναι ενδεχόμενα. Το Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό, το Β να φέρουμε περιττό, το Γ να ρίψουμε 6 και το Δ να φέρουμε 1. Τα ενδεχόμενα ειναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου. Ενα ενδεχόμενο ονομάζεται απλό οταν έχει μόνο στοιχείο (Γ,Δ) και σύνθετο αν έχει περισσότερα του ενός στοιχεία (Α,Β). Οταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεση του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε οτι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται. Γι’αύτο τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοικές περιπτώσεις για την πραγματοποίηση του. Στο παράδειγμα με τις ρίψεις ενός ζαρίου το ενδεχόμενο να φέρω άρτιο αριθμό, δηλαδή να πραγματοποιειθεί το ενδεχόμενο Α = {2,4,6}, έχει 3 ευνοικές περιπτώσεις, γιατί πραγματοποιήται όταν φέρουμε 2 ή 4 ή 6. Επιπροσθέτως, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος θεωρείται οτι είναι ενδεχόμενο, που προφανώς πραγματοποιήται πάντα, καθώς περιλαμβάνει όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Γι’αύτο το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Ακόμα, υπάρχει και το αδύνατο ενδεχόμενο , δηλαδή το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιήται πότε και είναι το κένο σύνολο. Τέλος, το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α, συμβολίζεται με Ν(Α), για παράδειγμα, το Ν(Ω) του πειράματος με το ζάρι ειναι 6, δηλαδή Ν(Ω) = 6.

ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑ (DETERMINISTIC EXRERIMENT) – ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ (RANDOM EXRERIMENT)

Αιτιοκρατικό ειναι το πείραμα κατα το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω απο τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα. Τέτοιου είδους πειράματα ειναι παραδείγματος χάρη απο την Φυσική, αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100 βαθμούς κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760mm Hg, το νερό θα βράσει. Ακόμα, αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει στο κένο υπο την επίδραση της βαρύτητας,

http://www.in.gr/news/article.asp?lngEntityID=1096061&lngDtrID=252

, μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια την απόσταση d που θα διανύσει σε ορισμένο χρόνο t.

Απο την άλλη πλεύρα, υπάρχουν και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε a priori να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω απο τις ίδιες συνθήκες. Αυτού του είδους τα πειράματα ονομάζονται πειράματα τύχης. Για παράδειγμα δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε διάστημα μιας εβδομάδας σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός εξαρτάται απο πολλούς απρόβλεπτους – αστάθμητους παράγοντες.

Στην κατηγορία των πειραμάτων τύχης ανήκουν και τα εξής: Η καταγραφή κορώνας ή γραμμάτων στη ρίψη ενός νομίσματος.

* Η καταγραφή του αποτελέσματος σε διαδοχικές ρίψεις ενός ζαρίου.

* Τα αποτελέσματα της κλήρωσης του Τζόκερ ή του Λοττο.

* Επιλέγεται μια συγκεκριμένη τράπεζα, μια συγκεκριμένη μέρα και σε συγκεκριμένη ώρα και καταγράφεται τον χρόνο αναμονής κάθε φορά.

Δειγαμτικός Χώρος (sample space)

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ονομάζεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με το γράμμα Ω. Επομένως, αν τα δυνατά - πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι
ω1 ,ω2 ,ω3 ,...,ωκ , τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:

Ω = { ω1 ,ω2 ,ω3 ,...,ωκ}.

Για παράδειγμα, στο πείραμα με τα αποτελέσματα στις ρίψεις ενός ζαριού, τα πιθανά αποτελέσματα είναι 1,2,3,4,5,6 . Αρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι :

Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Φυσικοί αριθμοί – Δεκαδική αξία

§ Φυσικοί αριθμοί : Το σύνολο των θετικών ακεραίων (Ζ).
§ Δεκαδική τάξη : Κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του, έχει και διαφορετική αξία. Η δεκαδική τάξη ενός ψηφίου μπορεί να είναι μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια κ.λ.π.
Παράδειγμα: o αριθμός 52.856.123
· Τι δηλώνει κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ανάλογα με τη θέση του;

Ψηφίο - ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΑΞΙΑ

5 - Δεκάδες εκατομμυρια
2 - Εκατομμύρια
8 - Εκατοντάδες χιλιάδες
5 - Δεκάδες χιλιάδες
6 - Χιλιάδες
1 - Εκατοντάδες
2 - Δεκάδες
3 - Μονάδες

· Πώς διαβάζεται; (πενήντα δυο εκατομμύρια οκτακόσιες πενήντα έξι χιλιάδες εκατόν είκοσι τρία)
· Ποιό το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού 52.856.123
Το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού ειναι:
52.856.123= 5 x 10.000.000 + 2 x 1.000.000 + 8 x 100.000 + 5 x 10.000 + 6 x 1.000 + + 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1

"ΕΞΥΠΝΗ ΠΡΟΣΘΕΣΗ"

Μερικές φορές ένας απλός συλλογισμός κάποιου ανθρώπου δίνει το έναυσμα για μνημειώδη έργα, για μεγάλες νίκες σε μάχες, για την ανάπτυξη της επιστήμης, την εξέλιξη της τεχνολογίας κάπως έτσι διαμορφώνεται η Ιστορία και αλλάζει η ζωή.
Για παράδειγμα ειναι ένας συλλογισμός ενός 12 χρονού αγορίου (Karl Friedrich GAUSS, 1777-1850), όταν στην πρώτη (!) τάξη του σχολείου άρχισε να μαθαίνει για τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις. Ενα πρόβλημμα που έβαλε ο δάσκαλος στην τάξη του GAUSS ήταν να υπολογίσουν το άθροισμα : 1+2+3+4+5+...+98+99+100 , πρίν οι υπόλοιποι αρχίσουν τις πράξεις ο 12χρονος GAUSS το είχε υπολογίσει. Ο δάσκαλος έκπληκτος τον ρώτησε πώς το βρήκε. Τότε εκείνος έγραψε στον πίνακα: